Балансовая модель

Поэтому каждая из рассматриваемых отраслей выступает и как производитель продукции ( первый столбец таблицы 1 ) и как ее потребитель ( первая строка таблицы 1 ). Обозначим через x i валовый выпуск продукции i -й отрасли за планируемый период и через y i – конечный продукт, идущий на внешнее для рассматриваемой системы потребление ( средства производства других экономических систем, потребление населения, образование запасов и т.д. ). Таким образом, разность x i - y i составляет часть продукции i -й отрасли, предназначенную для внутрипроизводственного потребления. Будем в дальнейшем полагать, что баланс составляется не в натуральном, а в стоимостном разрезе.

Обозначим через x ik часть продукции i -й отрасли, которая потребляется k -й отраслью, для обеспечения выпуска ее продукции в размере х k . Таблица 1 № потребление итого на конечный валовый отрас. внутре продукт выпуск производ. ( у i ) ( х i ) № 1 2 … k … n потребление отрас. ( х ik ) 1 х 11 х 12 … х 1 k … х 1 n х 1 k у 1 х 1 2 х 21 х 22 … х 2 k … х 2 n х 2 k у 2 х 2 … … … … … … … … … … i х i1 x i2 … x ik … x in x ik y i x i

Балансовые равенства ( 1 ) должны выполняться как в истекшем, так и в планируемом периоде. Будем называть совокупность значений y 1 , y 2 , … , y n , характеризующих выпуск конечного продукта, ассортиментным вектором : _ у = ( у 1 , у 2 , … , y n ) , ( 2 ) а совокупность значений x 1 , x 2 , … , x n , определяющих валовый выпуск всех отраслей – вектор-планом : _ x = ( x 1 , x 2 , … , x n ). ( 3 ) Зависимость между двумя этими векторами определяется балансовыми равенствами ( 1 ). Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектор у необходимый для его обеспечения вектор-план х, т.к. кроме искомых неизвестных х k , содержат n 2 неизвестных x ik , которые в свою очередь зависят от x k . Поэтому преобразуем эти равенства.

Рассчитаем величины a ik из соотношений : x ik a ik = ––– ( i , k = 1 , 2 , … , n ). x k Величины a ik называются коэффициентами прямых затрат или технологическими коэффициентами. Они определяют затраты продукций iй отрасли, используемые kй отраслью на изготовление ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой kй отрасли. С некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a ik постоянны в некотором промежутке времени, охватывающим как истекший, так и планируемый период, т.е., что x ’ ik x ik ––– = ––– = a ik = const ( 4 ) x ’ k x k Исходя из этого предложения имеем x ik = a ik x k , ( 5 ) т.е. затраты iй отрасли в kю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x k . Поэтому равенство ( 5 ) называют условием линейности прямых затрат.

Рассчитав коэффициенты прямых затрат a ik по формуле ( 4 ), используя данные об исполнении баланса за предшествующий период либо определив их другим образом, получим матрицу a 11 a 12 … a 1k … a 1n a 21 a 22 … a 2k … a 2n A= …………………. a i1 a i2 … a ik … a in a n1 a n2 … a nk … a nn которую называют матрицей затрат.

Заметим, что все элементы a ik этой матрицы неотрицательны. Это записывают сокращено в виде матричного неравенства А >0 и называют такую матрицу неотрицательной.

Заданием матрицы А определяются все внутренние взаимосвязи между производством и потреблением, характеризуемые табл.1 Подставляя значения x ik = a ik = x k во все уравнения системы ( 1 ), получим линейную балансовую модель : x 1 - ( a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1n x n ) = y 1 x 2 - ( a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2n x n ) = y 2 ( 6 ) …………………………………… x n - ( a n1 x 1 + a n2 x 2 + … + a nn x n ) = y n , характеризующую баланс затрат - выпуска продукции, представленный в табл.1 Система уравнений ( 6 ) может быть записана компактнее, если использовать матричную форму записи уравнений: _ _ _ Е · х - А · х = У , или окончательно _ _ ( Е - А ) · х = У , ( 6 ' ) где Е – единичная матрица n -го порядка и 1- a 11 -a 12 … -a 1n E - A= -a 21 1-a 22 … -a 2n ………………… -a n1 -a n2 … 1-a nn Уравнения ( 6 ) содержат 2n переменных ( x i и y i ) . Поэтому, задавшись значениями n переменных, можно из системы ( 6 ) найти остальные n - переменных. Будем исходить из заданного ассортиментного вектора У = ( y 1 , y 2 , … , y n ) и определять необходимый для его производства вектор-план Х = ( х 1 , х 2 , … х n ). Проиллюстрируем вышеизложенное на примере предельно упрощенной системы, состоящей из двух производственных отраслей: табл.2

Теперь может быть записана балансовая модель ( 6 ), соответствующая данным табл.2 х 1 - 0.2х 1 - 0.4х 2 = у 1 х 2 - 0.55х 1 - 0.1х 2 = у 2 Эта система двух уравнений может быть использована для определения х 1 и х 2 при заданных значениях у 1 и у 2 , для использования влияния на валовый выпуск любых изменений в ассортименте конечного продукта и т.д. Так, например, задавшись у 1 =240 и у 2 =85, получим х 1 =500 и х 2 =400, задавшись у 1 =480 и у 2 =170, получим х 1 =1000 и х 2 =800 и т.д. РЕШЕНИЕ БАЛАНСОВЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОЛНЫХ ЗАТРАТ. Вернемся снова к рассмотрению балансового уравнения ( 6 ). Первый вопрос, который возникает при его исследование, это вопрос о существование при заданном векторе У > 0 неотрицательного решения х > 0, т.е. о существовании вектор-плана, обеспечивающего данный ассортимент конечного продукта У. Будем называть такое решение уравнения ( 6 ' ) допустимым решением.

Заметим, что при любой неотрицательной матрице А утверждать существование неотрицательного решения нельзя. Так, например, если 0.9 0.8 0.1 -0.8 и уравнение ( 6 ' ) А= , то Е - А = 0.6 0.9 -0.6 0.1 запишется в виде 0.1 -0.8 х 1 у 1 или в развернутой форме -0.6 0.1 х 2 у 2 0.1х 1 - 0.8х 2 = у 1 ( a ) -0.6х 1 + 0.1х 2 = у 2 Сложив эти два уравнения почленно, получим уравнение -0.5х 1 - 0.7х 2 = у 1 + у 2 , которое не может удовлетворяться неотрицательным значениям х 1 и х 2 , если только у 1 > 0 и у 2 >0 ( кроме х 1 =х 2 =0 при у 1 =у 2 =0 ). Наконец уравнение вообще может не иметь решений ( система ( 6 ) – несовместная ) или иметь бесчисленное множество решений ( система ( 6 ) – неопределенная ). Следующая теорема, доказательство которой мы опускаем, дает ответ на поставленный вопрос.

Теорема. Если существует хоть один неотрицательный вектор х >0 , удовлетворяющий неравенству ( Е - А ) · х > 0, т.е. если уравнение ( 6 ' ) имеет неотрицательное решение x>0 , хотя бы для одного У >0 , то оно имеет для любого У >0 единственное неотрицательное решение. При этом оказывается, что обратная матрица ( Е - А ) будет обязательно неотрицательной. Из способа образования матрицы затрат следует, что для предшествующего периода выполняется равенство ( Е -А ) · х ' = У ' , где вектор-план х ' и ассортиментный вектор У ' определяются по исполненному балансу за прошлый период, при этом У ' >0 . Таким образом, уравнение ( 6 ' ) имеет одно неотрицательное решение x>0 . На основании теоремы заключаем, что уравнение ( 6 ' ) всегда имеет допустимый план и матрица ( Е - А ) имеет обратную матрицу.

Обозначив обратную матрицу ( Е - А ) -1 через S = || s ik+ || , запишем решение уравнения ( 6 ' ' ) в виде _ _ х = S · У ( 7 ) Если будет задан вектор – конечный продукт У и вычислена матрица S = ( E - A ) -1 , то по этой формуле может быть определен вектор-план х.

Решение ( 7 ) можно представить в развернутой форме: x 1 = S 11 y 1 + S 12 y 2 + … + S 1n y n x 2 = S 21 y 1 + S 22 y 2 + … + S 2n y n ( 8 ) ……………………………… x n = S n1 y 1 + S n2 y 2 + … + S nn y n ПОЛНЫЕ ВНУТРИПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ЗАТРАТЫ. Выясним экономический смысл элементов S ik матрицы S . Пусть производится только единица конечного продукта 1-й отрасли, т.е. 1 _ 0 У 1 = : 0 Подставляя этот вектор в равенство ( 7 ), получим 1 S 11 _ 0 S 21 _ х = S : = : = S 1 0 S n1 0 _ 1 задавшись ассортиментным вектором У 2 = 0 , получим : 0 0 S 12 _ 1 S 22 _ х = S : = : = S 2 0 S n2 Аналогично, валовый выпуск х, необходимый для производства единицы конечного продукта k -й отрасли, составит 0 S 1k _ : S 2k _ х = S 1 = : = S k , ( 9 ) : S nk 0 т.е. k -й столбец матрицы S . Из равенства ( 9 ) вытекает следующее: Чтобы выпустить только единицу конечного продукта k -й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить х 1 = S 1k , во 2-й х 2 = S 2k и т.д., в i -й отрасли выпустить x i =S ik и, наконец, в n -й отрасли выпустить x n =S nk единиц продукции. Так при этом виде конечного продукта производства только единица k -го продукта, то величины S 1k , S 2k , …, S ik , …, S nk , представляют собой коэффициенты полных затрат продукции 1-й, 2-й и т.д., n -й отраслей идущей на изготовление указанной единицы k -го продукта. Мы уже ввели раннее коэффициенты прямых затрат a 1k , a 2k , …, a ik , …, a nk на единицу продукции k -й отрасли, которые учитывали лишь ту часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно k -й отраслью. Но, очевидно, необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Если бы продукция i -й отрасли поступала бы только в k -ю отрасль в количестве a ik , то производство k -й отрасли все равно не было бы обеспеченно, ибо потребовалось еще продукты 1-й отрасли ( a 1k ), 2-й отрасли ( a 2k ) и т.д. А они в свою очередь не смогут работать, если не будут получать продукцию той же i -й отрасли ( a i1 , a i2 , … и т.д.). Проиллюстрируем сказанное на примере табл.2 Пусть нас не интересует выпуск для внешнего потребления продукции 2-й отрасли ( k=2 ) и мы хотим определить затраты продукции 1-й отрасли на единицу этой продукции. Из табл.2 находим, что на каждую единицу продукции 2-й отрасли ( х 2 =1 ) затрачивается: продукции 1-й отрасли a 12 =0.4 и 2-й отрасли a 22 =0.1 . Таковы будут прямые затраты. Пусть нужно изготовить у 2 =100. Можно ли для этого планировать выпуск 1-й отрасли х 1 =0.4 100=40 ? Конечно, нельзя, т.к. необходимо учитывать, что 1-я отрасль часть своей продукции потребляет сама ( а 11 =0.2 ), и поэтому суммарный ее выпуск следует скорректировать: х 1 =40+0.2 40=48. Однако и эта цифра неверна, т.к. теперь уже следует исходить из нового объема продукции 1-й отрасли – х 1 ' =48 и т.д. Но дело не только в этом.

Согласно табл.2 продукция 2-й отрасли также необходима для производства и 1-й и 2-й отраслей и поэтому потребуется выпускать больше, чем у 2 =100. Но тогда возрастут потребности в продукции 1-й отрасли. Тогда достаточно обратиться к составленной систем уравнений, положив у 1 =0 и у 2 =1 ( см п.2 ): 0.8х 1 - 0.4х 2 = 0 -0.55х 1 + 0.9х 2 = 1 Решив эту систему, получим х 1 =0.8 и х 2 =1.5. Следовательно, для того чтобы изготовить единицу конечного продукта 2-й отрасли, необходимо в 1-й отрасли выпустить продукции х 1 =0.8. Эту величину называют коэффициентом полных затрат и обозначают ее через S 12 . Таким образом, если а 12 =0.4 характеризует затраты продукции 1-й отрасли на производство единицы продукции 2-й отрасли, используемые непосредственно во 2-й отрасли ( почему они и были названы прямые затраты ), то S 12 учитывают совокупные затраты продукции 1-й отрасли как прямые ( а 12 ), так и косвенные затраты, реализуемые через другие ( в данном случае через 1-ю же ) отрасли, но в конечном счете необходимые для обеспечения выпуска единицы конечного продукта 2-й отрасли. Эти косвенные затраты составляют S 12 -a 12 =0.8-0.4=0.4 Если коэффициент прямых затрат исчисляется на единицу валового выпуска, например а 12 =0.4 при х 2 =1, то коэффициент полных затрат рассчитывается на единицу конечного продукта. Итак, величина S ik характеризует полные затраты продукции i -й отрасли для производства единицы конечного продукта k -й отрасли, включающие как прямые ( a ik ), так и косвенные ( S ik - a ik ) затраты.

Очевидно, что всегда S ik > a ik . Если необходимо выпустить у k единиц k -го конечного продукта, то соответствующий валовый выпуск каждой отрасли составит на основании системы ( 8 ): x 1 = S 1k · y k , x 2 = S 2k · y k , …, x n = S nk · y k , что можно записать короче в виде: _ _ x = S k · y k ( 10 ) Наконец, если требуется выпустить набор конечного продукта, заданный ассортимент- _ у 1 ным вектором У = : , то валовый выпуск k -й отрасли x k , необходимый для его у n обеспечения, определится на основании равенств ( 10 ) как скалярное произведение столбца S k на вектор У, т.е. _ _ x k = S k1 y 1 + S k2 y 2 + … + S kn y n = S k · y , ( 11 ) а весь вектор-план х найдется из формулы ( 7 ) как произведение матрицы S на вектор У. Таким образом, подсчитав матрицу полных затрат S , можно по формулам ( 7 ) – ( 11 ) рассчитать валовый выпуск каждой отрасли и совокупный валовый выпуск всех отраслей при любом заданном ассортиментном векторе У. Можно также определить, какое изменение в вектор-плане D х = ( D х 1 , D х 2 , …, D х n ) вызовет заданное изменение ассортиментного продукта D У = ( D у 1 , D у 2 , …, D у n ) по формуле: _ _ D х = S · D У , ( 12 ) Приведем пример расчета коэффициентов полных затрат для балансовой табл.2. Мы имеем матрицу коэффициентов прямых затрат: 0.2 0.4 А = 0.55 0.1 Следовательно, 1 -0.2 -0.4 0.8 -0.4 Е - А = = -0.55 1 -0.1 -0.55 0.9 Определитель этой матрицы 0.8 -0.4 D [ E - A ] = = 0.5 -0.55 0.9 Построим присоединенную матрицу ( Е - А ) * . Имеем: 0.9 0.4 ( Е - А ) * = , 0.55 0.8 откуда обратная матрица, представляющая собой таблицу коэффициентов полных затрат, будет следующей: 1 0.9 0.4 1.8 0.8 S = ( Е - А ) -1 = ––– = 0.5 0.55 0.8 1.1 1.6 Из этой матрицы заключаем, что полные затраты продукции 1-й и 2-й отрасли, идущие на производство единицы конечного продукта 1-й отрасли, составляет S 11 =0.8 и S 21 =1.5 . Сравнивая с прямыми затратами а 11 =0.2 и а 21 =0.55, устанавливаем, косвенные затраты в этом случае составят 1.8-0.2=1.6 и 1.1-0.55=0.55. Аналогично, полные затраты 1-й и 2-й отрасли на производство единицы конечного продукта 2-й отрасли равны S 12 =0.8 и S 22 =1.5, откуда косвенные затраты составят 0.8-0.4=0.4 и 1.6-0.1=1.5. Пусть требуется изготовить 480 единиц продукции 1-й и 170 единиц 2-й отраслей. Тогда необходимый валовый выпуск х = х 1 найдется из равенства ( 7 ): х 2 _ _ 1.8 0.8 480 1000 х = S · У = · = 1.1 1.6 170 800 . ПОЛНЫЕ ЗАТРАТЫ ТРУДА КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ И Т.Д. Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат x ik , затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1- я, n +2-я и т.д. дополнительные строки.

Обозначим затраты труда в k -ю отрасль через x n+1,k , и затраты капиталовложений – через x n+2,k ( где k = 1, 2, …, n ). Подобно тому как вводились прямые затраты a ik , x n+1,k введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда a n+1,k = ––––– , и x k x n+2,k капиталовложений a n+2,k = ––––– , представляющих собой расход соответствующего x k ресурса на единицу продукции, выпускаемую k -й отраслью.

Включив эти коэффициенты в структурную матрицу ( т.е. дописав их в виде дополнительных строк ), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат: a 11 a 12 … a 1k … a 1n a 21 a 22 … a 2k … a 2n основная часть матрицы ………………………………… А ' = a i1 a i2 … a ik … a in ………………………………… a n1 a n2 … a nk … a nn a n+1,1 a n+1,2 … a n+1,k … a n+1,n a n+2,1 a n+2,2 … a n+2,k … a n+2,n дополнительные строки При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы ( структурная матрица А ). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки. Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е. _ 1 У = 0 : 0 . Для этого требуется валовый выпуск продукции S 11 _ _ S 21 x = S 1 = : S n1 Подсчитаем необходимые при этом затраты труда S n+1,1 . Очевидно, исходя из смысла коэффициентов a n+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k -й отрасли и величин S 11 , S 12 , …, S 1n , характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как a n+1,1 S 11 , во 2-ю – a n+1,2 S 21 и т.д., наконец в nю отрасль a n+1,n S n1 . Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят: _ _ S n+1,1 = a n+1,1 S 11 + a n+1,2 S 21 + … + a n+1,n S n1 = a n+1 S 1 , т.е. равны скалярному произведению ( n+1 ) -й строки расширенной матрицы А ' , которую обозначим a n+1 , на 1-й столбец матрицы S . Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k -й отрасли, составят: _ _ S n+1,k = a n+1 S k ( 13 ) Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда.

Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений: _ _ S n+2,k = a n+2 S k ( 14 ) Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов S n+1,k и S n+2,k , образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат: S 11 S 12 … S 1k … S 1n матрица коэффициентов S 21 S 22 … S 2k … S 2n полных внутрипроизводст. ………………………………… затрат S ' = S i1 S i2 … S ik … S in ………………………………… ( 15 ) S n1 S n2 … S nk … S nn S n+1,1 S n+1,2 … S n+1,k … S n+1,n дополнительные строки S n+2,1 S n+2,2 … S n+2,k … S n+2,n Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х ( для чего используется матрица S ), но и необходимые суммарные затраты труда x n+1 , капиталовложений x n+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У. Очевидно, x n+1 = S n+1,1 y 1 + S n+1,2 y 2 + … + S n+1,n y n , ( 16 ) x n+2 = S n+2,1 y 1 + S n+2,2 y 2 + … + S n+2,n y n , т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S ' вектор У. Наконец, объединяя формулу ( 7 ) с формулами ( 16 ), приходим к следующей компактной форме: x 1 x 2 _ : _ x = x n = S ' У ( 17 ) x n+1 x n+2 Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда x n+1,k ( в тыс. человеко-часов ) и капиталовложений x n+2,k ( в тыс. руб. ), которые записаны в табл.3 Переходя к коэффициентам прямых затрат a ik , получим расширенную матрицу: 0.2 0.4 А ' = 0.55 0.1 0.5 0.2 1.5 2.0 Таблица 3 № отраслей потребление итого конечный валовый № затрат продукт выпуск отраслей 1 2

Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.

Задача В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.